有f(a+b)=f(a)(b),求证：f(0)=1求证：对任意的x属于R,恒有f(x)大于0求证：f(x)是R上的增函数若f(x)·f(2x-x^2)大于1,求x取值范围

Question

有f(a+b)=f(a)(b),求证：f(0)=1 求证：对任意的x属于R,恒有f(x)大于0 求证：f(x)是R上的增函数
若f(x)·f(2x-x^2)大于1,求x取值范围

Answer 1

题目应该是f(a+b)=f(a)f(b)吧.
求证一：
已知f(a+b)=f(a)f(b),
令b=0
则f(a+0)=f(a)f(0),
即f(a)=f(a)f(0)
f(a)[1-f(0)]=0
所以1-f(0)=0或f(a)=0
假设存在一个x,使得f(x)=0
则对于任意x ,均有f(x)=0
这与条件中的“当x大于0时,f(x)大于1”相矛盾
因此对于任意x,均不能使f(x)=0
所以f(0)=1
求证二：
对于任意x,均有f(x/2+x/2)=f(x/2)f(x/2)
即f(x)=f(x/2)的平方
所以f(x)大于或等于零
又由上一问的证明过程知：
对于任意x,均不能使f(x)=0
所以f(x)只能大于零
即：对任意的x属于R,恒有f(x)大于0
求证三：
设a>b,则a-b>0
因为当x大于0时,f(x)大于1
所以f(a-b)>1
因为a=b+(a-b)
所以f(a)=f[b+(a-b)]
又因为f[b+(a-b)]=f(b)f(a-b)
所以f(a)=f(b)f(a-b)
由以上可知f(a-b)>1,且f(a)、f(b)均大于零
所以f(a)>f(b)
又由于a>b
所以f(x)是R上的增函数