线性代数问题Span{e^x,sin(x),cos(x)}是R→R的子空间,求证：它是线性空间Span{e^x,sin(x),cos(x)}是V的基底,则有：λ\x151e^x+λ\x15\x15\x152sin(x)+λ\x15\x153cos(x)=0求证当①x=0②x=π\x19\x19③x=1/2π\x19

Question

线性代数问题
Span{e^x,sin(x),cos(x) } 是R→R的子空间,求证：

它是线性空间

Span{e^x,sin(x),cos(x)}是V的基底,则有：λ\x151e^x + λ\x15\x15\x152 sin(x) + λ\x15\x153 cos(x) = 0
求证当①x = 0 ② x =π\x19 \x19③x = 1/2π\x19 时λ\x151=λ\x152=λ\x153=0

Answer 1

第一问证明它是线性空间,则只需证明它满足R空间的运算法则即可,如加法交换律,加法结合律之类之类,不过重要的是证明存在零元素使得a + 0 = a ,存在负元素a使得a + (-a) = 0.这个显然成立.
第二问,当①x = 0 ② x =π\x19 \x19③x = 1/2π\x19 时,e^x,sin(x),cos(x) 不全为零
因为e^x,sin(x),cos(x)是V的基底,所以线性无关.
所以,只有λ\x151=λ\x152=λ\x153=0,才使得λ\x151e^x + λ\x15\x15\x152 sin(x) + λ\x15\x153 cos(x) = 0