设矩阵A为3阶方阵,|A|=-2,把A按列分块A=(A1,A2,A3),其中Aj(j=1,2,3)为A的第j列,求|A3-2A1,3A2,A1|

Question

设矩阵A为3阶方阵,|A|=-2,把A按列分块A=(A1,A2,A3),其中Aj(j=1,2,3)为A的第j列,求|A3-2A1,3A2,A1|

Answer 1

如果是填空题,建议举特例.
A=
-2 0 0
0 1 0
0 0 1
得到结果是6

如果是大题：

[A3-2A1,3A2,A1]是原来的矩阵A做了一系列的初等列变换得到：
（1）交换A的第一列和第三列 => [A3 A2 A1]
（2）A的第二列变成原来的3倍 => [A3 3A2 A1]
（3）A的第一列减去2倍的第三列 => [A3-2A1 3A2 A1]
这样就得到了要求的矩阵,没错吧.
我们知道,做一次列变换就是右乘一个初等变换矩阵,这三个变换的初等矩阵分别是：
（1）P1=
0 0 1
0 1 0
1 0 0

（2）P2=
1 0 0
0 3 0
0 0 1

（3）P3=
1 0 0
0 1 0
-2 0 1

所以最后所求的矩阵就是A*P1*P2*P3,
|A*P1*P2*P3|=|A|*|P1|*|P2|*|P3|=(-2)*(-1)*(3)*(1)=6