设f(z)=u+iv在复平面解析,f(0)=0,v(x,y)=2xy并满足则u(x,y)=?复变函数初学`

Question

设f(z)=u+iv 在复平面解析,f(0)=0,v(x,y)=2xy 并满足 则 u(x,y)=?
复变函数初学`

Answer 1

根据柯西-黎曼条件,若f(z)=u+iv 解析,则满足εu/εx=εv/εy=2x,εu/εy=εv/εx=2y（这里ε表示的是偏导数,我不会打偏导数的符号）
因此u(x,y)=∫2xdx=x²+f(y)+C1,这样εu/εy=f'(y)=2y,所以f(y)=∫2ydy=y²+C2
u(x,y)=∫2xdx=x²+y²+C,
由已知f(0)=0,因此u(0,0)=C=0,
所以u(x,y)=x²+y²+i2xy