在一种新的“子母球”表演中，让同一竖直线上的小球A和小球B，从距水平地面高度为ph（p＞1）和h的地方同时由静止释放，如图所示。球A的质量为m，球B的质量为3m。设所

Question

在一种新的“子母球”表演中，让同一竖直线上的小球 A 和小球 B ，从距水平地面高度为 ph （ p ＞1）和 h 的地方同时由静止释放，如图所示。球 A 的质量为 m ，球 B 的质量为3 m 。设所有碰撞都是弹性碰撞，重力加速度大小为 g ，忽略球的直径、空气阻力及碰撞时间。

（1）求球 B 第一次落地时球 A 的速度大小；
（2）若球 B 在第一次上升过程中就能与球 A 相碰，求 p 的取值范围；
（3）在（2）情形下，要使球 A 第一次碰后能到达比其释放点更高的位置，求 p 应满足的条件。

Answer 1

（1） A 球速率  （2）1＜ p ＜5   （3）1＜ p ＜3

（1）由于两球同时释放，所以球 B 第一次落地时 A 球下落的高度为 h ，设此时 A 球的速度大小为 v ₀ ，由 可得， 。
（2）球 B 第一次落地并与地发生弹性碰撞后做竖直上抛运动。
若球 B 上升到最大高度 h 处时刚好与球 A 发生碰撞，设此时球 A 自由下落的时间 t _A ，则 =h ，此时球 A 自由下落的高度 。联立以上两式，可得 h _A =4 h ，则 ph = h _A + h =5 h ，所以 p =5。
若球 B 在第一次上升过程中就能与球 A 相碰，则 p 的取值范围应为1＜ p ＜5。
（3）设球 B 第一次落地并与地发生弹性碰撞后又上升了时间 t 就与球 A 相碰，则球 A、B 在空中碰前的速度大小分别为有 和 ，设它们碰后的速度分别为 和 ，选竖直向上为正方向，两球发生弹性碰撞，根据动量守恒和能量守恒，
，
联立解得， 。
碰撞时， A 球自由下落的高度 ，B球竖直上升的高度
则
联立解得 ，即要使球 A 第一次碰后能到达比其释放点更高的位置 。
【考点定位】考查自由落体运动、竖直上抛运动、弹性碰撞等考点，意在考查考生的分析综合能力。