是否存在m使不等式2x-1>m(x^2-1)对满足-2≤x≤2的一切实数x都成立?

Question

是否存在m使不等式2x-1>m(x^2-1)对满足-2≤x≤2的一切实数x都成立?

Answer 1

假设存在.
mx^2-2x-m+1＜0,f(x)=mx^2-2x-m+1
①m＞0,f(-2)＜0且f(2)＜0
即4m+4-m+1＜0且4m-4-m+1＜0
所以m＜-5/3且m＜1,得m＜-5/3,由于m＞0,所以此种情况不存在.
②m=0,f(x)=-2x+1在-2≤x≤2不能恒小于零.
③m＜0
⑴对称轴x=1/m≤-2即-1/2≤m＜0时,
f(-2)＜0即4m+4-m+1＜0得m＜-5/3,因为-1/2≤m＜0,所以此情况不合题意.
⑵对称轴-2＜1/m＜0,即m＜-1/2时
Δ=4-4m(-m+1)＜0,m解集为空集
综上知道,不存在这样的数m.