（文）设数列{an}的通项公式为an＝pn+q(n∈N*，p＞0)．数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值．（Ⅰ）若p=12，q＝−13，求b3；（Ⅱ）（文）若p=2，q=-1，求

Question

（文）设数列{a_n}的通项公式为a n＝pn+q(n∈N*，p＞0)．数列{b_n}定义如下：对于正整数m，b_m是使得不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值．
（Ⅰ）若p=(1)/(2)，q＝−(1)/(3)，求b₃；
（Ⅱ）（文）若p=2，q=-1，求数列{b_m}的前2m项和公式；
（Ⅲ）（文）若p＝(1)/(3)，是否存在q，使得b m＝3m+2(m∈N*)？如果存在，求q的取值范围；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）∵数列{a_n}的通项公式为a n＝pn+q(n∈N*，p＞0)．
数列{b_n}定义如下：对于正整数m，b_m是使得不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值．
p=(1)/(2)，q＝−(1)/(3)，
∴a_n=(1)/(2)n-(1)/(3)，解(1)/(2)n−(1)/(3)≥3，得n≥(20)/(3)．…（2分）
∴(1)/(2)n−(1)/(3)≥3成立的所有n中的最小整数为7，即b₃=7．…（4分）
（Ⅱ）（文）∵p=2，q=-1，∴a_n=2n-1，
对于正整数，由a_n≥m，得n≥(m+1)/(2)．
根据b_m的定义可知：当m=2k-1时，b m＝k(k∈N*)；…（6分）
当m=2k时，b m＝k+1(k∈N*)．…（8分）
∴b₁+b₂+…+b_2m=（b₁+b₃+..b_2m-1）+（b₂+b₄+..+b_2m）
=（1+2+3+..+m）+[2+3+4+..+（m+1）]
=(m(m+1))/(2)+(m(m+3))/(2)＝m2+2m．…（12分）
（Ⅲ）（文）假设存在q满足条件，由不等式(1)/(3)n+q≥m，得n≥3（m-q）…（14分）
∵b m＝3m+2(m∈N*)，
∴根据b_m的定义可知，对于任意的正整数m 都有3m+1＜3（m-q）≤3m+2，…（16分）
解得-(2)/(3)≤q＜−(1)/(3)．…（18分）
∴存在q，使得b m＝3m+2(m∈N*)；
q的取值范围是-(2)/(3)≤q＜−(1)/(3)．