给定正整数n（n≥3），集合Un={1，2，…，n}．若存在集合A，B，C，同时满足下列条件：①Un=A∪B∪C，且A∩B=B∩C=A∩C=∅；②集合A中的元素都为奇数，集合B中的元素都为偶数，所有能被3

Question

给定正整数n（n≥3），集合U_n={1，2，…，n}．若存在集合A，B，C，同时满足下列条件：
①U_n=A∪B∪C，且A∩B=B∩C=A∩C=∅；
②集合A 中的元素都为奇数，集合B 中的元素都为偶数，所有能被3 整除的数都在集合C 中（集合C 中还可以包含其它数）；
③集合A，B，C 中各元素之和分别记为S_A，S_B，S_C，有S_A=S_B=S_C；则称集合 U_n为可分集合．
（Ⅰ）已知U₈为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合A，B，C；
（Ⅱ）证明：若n 是3 的倍数，则U_n不是可分集合；
（Ⅲ）若U_n为可分集合且n 为奇数，求n的最小值．

Answer 1

（I）依照题意，可以取A={5，7}，B={4，8}，C={1，2，3，6}．
（II）假设存在n是3的倍数且U_n是可分集合．
设n=3k，则依照题意{3，6，…，3k}⊆C，
故S_C≥3+6+…+3k=(3k2+3k)/(2)，
而这n个数的和为(n(n+1))/(2)，故S_C=(1)/(3)×(n(n+1))/(2)=(3k2+k)/(2)<(3k2+3k)/(2)，矛盾，
所以n是3的倍数时，U_n一定不是可分集合．
（Ⅲ）n=35．
因为所有元素和为(n(n+1))/(2)，又S_B中元素是偶数，所以(n(n+1))/(2)=3S_B=6m（m为正整数），
所以n（n+1）=12m，因为n，n+1为连续整数，故这两个数一个为奇数，另一个为偶数．
由（Ⅱ）知道，n不是3的倍数，所以一定有n+1是3的倍数．
当n为奇数时，n+1为偶数，而n（1+n）=12m，
所以一定有n+1既是3的倍数，又是4的倍数，所以n+1=12k，
所以n=12k-1，k∈N^*．…（10分）
定义集合D={1，5，7，11，…}，即集合D由集合U_n中所有不是3的倍数的奇数组成，
定义集合E={2，4，8，10，…}，即集合E由集合U_n中所有不是3的倍数的偶数组成，
根据集合A，B，C的性质知道，集合A⊆D，B⊆E，
此时集合D，E中的元素之和都是24k²，而SA=SB=SC=(1)/(3)(n(1+n))/(2)=24k2-2k，
此时U_n中所有3的倍数的和为((3+12k-3)(4k-1))/(2)=24k2-6k，24k²-（24k²-2k）=2k，（24k²-2k）-（24k²-6k）=4k
显然必须从集合D，E中各取出一些元素，这些元素的和都是2k，
所以从集合D={1，5，7，11，…}中必须取偶数个元素放到集合C中，所以2k≥6，
所以k≥3，此时n≥35
而令集合A={7，11，13，17，19，23，25，29，31，35}，
集合B={8，10，14，16，20，22，26，28，32，34}，
集合C={3，6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，1，5，2，4}，
检验可知，此时U₃₅是可分集合，所以n的最小值为35．…（13分）