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证明(2n)的阶乘整除[(n)的阶乘乘以(n+1)的阶乘]
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证明(2n)的阶乘整除[(n)的阶乘乘以(n+1)的阶乘]
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答案和解析
郭敦顒回答:
[n!•(n+1)!]= n!•n!(n+1),
(2n)!=n!•(n+1)(n+2)•…•(2n-1)•(2n)
(n+1)(n+2)•…•(2n-1)•(2n)>n!(n+1)
n!•(n+1)(n+2)•…•(2n-1)•(2n)>n!•n!(n+1)
∴(2n)!不能整除[n!•(n+1)!].
但(2n)!能整除[n!•(n+1)]!
∵[n!•(n+1)]!=[1•2•3•…•n•(n+1)]!
={2•n[2•3•…•(n-1)](n+1)/2)!
=[2n•3•4•…•(n-2)(n²-1)]!.
[n!•(n+1)!]= n!•n!(n+1),
(2n)!=n!•(n+1)(n+2)•…•(2n-1)•(2n)
(n+1)(n+2)•…•(2n-1)•(2n)>n!(n+1)
n!•(n+1)(n+2)•…•(2n-1)•(2n)>n!•n!(n+1)
∴(2n)!不能整除[n!•(n+1)!].
但(2n)!能整除[n!•(n+1)]!
∵[n!•(n+1)]!=[1•2•3•…•n•(n+1)]!
={2•n[2•3•…•(n-1)](n+1)/2)!
=[2n•3•4•…•(n-2)(n²-1)]!.
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