证明∑sin(π√n^2+a^2)的敛散性

Question

证明∑sin(π√n^2+a^2)的敛散性

Answer 1

sin[π√(n²+a²)]
=sin[nπ√(1+(a/n)²)]
=sin[nπ(1+(a/n)²/2+o(1/n^4))] ------ 展开成带皮亚诺余项的迈克劳林式子
=sin[nπ+πa²/2n+o(1/n^3))]
=(-1)ⁿsin[πa²/2n+o(1/n^3))] ------ 三角函数和差化积
(-1)ⁿ[πa²/2n+o(1/n^3))]
∑(-1)ⁿπa²/2n条件收敛,∑o(1/n^3))收敛(因为1/n^3收敛),所以最后原级数(条件)收敛