当n属于整数.证明n的3次方/3－n的平方/2＋n/6的值是整数.（n的3次方/3）－（n的平方/2）＋n/6的值是整数。

Question

当n属于整数.证明n的3次方/3－n的平方/2＋n/6的值是整数.
（n的3次方/3）－（n的平方/2）＋n/6的值是整数。

Answer 1

（2n³-3n²+n）/6=(n)(2n-1)(n-1)/6
用数学归纳法证明：
证明：
（1）当n=1时,原式=1×1×0/6=0是整数
（2）当n=2时,原式=2×3×1/6=1是整数
（3）假设n=k时等式成立,即f(k)=(k)(2k-1)(k-1)/6是整数
（4）当 n=k+1时,
f(k＋1)=(k+1)[2(k+1)-1](k+1-1)/6
f(k＋1)=(k+1)(2k+1)(k)/6
f(k＋1)=(k)(2k-1)(k-1)/6+6k²/6
f(k＋1)=(k)(2k-1)(k-1)/6+k²
因为f(k)=(k)(2k-1)(k-1)/6是整数,k²也是整数
所以f(k＋1)=(k)(2k-1)(k-1)/6+k²亦是整数
即f(k＋1)=(k+1)[2(k+1)-1](k+1-1)/6亦是整数
综上当n属于整数时（2n³-3n²+n）/6的值是整数成立.