早教吧作业答案频道 -->数学-->
设集合A2n={1,2,3,…,2n}(n∈N*,n≥2).如果对于A2n的每一个含有m(m≥4)个元素的子集P,P中必有4个元素的和等于4n+1,称正整数m为集合A2n的一个“相关数”.(Ⅰ)当n=3时,判断5和6
题目详情
设集合A2n={1,2,3,…,2n}(n∈N*,n≥2).如果对于A2n的每一个含有m(m≥4)个元素的子集P,P中必有4个元素的和等于4n+1,称正整数m为集合A2n的一个“相关数”.
(Ⅰ)当n=3时,判断5和6是否为集合A6的“相关数”,说明理由;
(Ⅱ)若m为集合A2n的“相关数”,证明:m-n-3≥0;
(Ⅲ)给定正整数n.求集合A2n的“相关数”m的最小值.
(Ⅰ)当n=3时,判断5和6是否为集合A6的“相关数”,说明理由;
(Ⅱ)若m为集合A2n的“相关数”,证明:m-n-3≥0;
(Ⅲ)给定正整数n.求集合A2n的“相关数”m的最小值.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)当n=3时,A6={1,2,3,4,5,6},4n+1=13,
①对于A6的含有5个元素的子集{2,3,4,5,6},
因为2+3+4+5>13,
所以5不是集合A6的“相关数”;
②A6的含有6个元素的子集只有{1,2,3,4,5,6},
因为1+3+4+5=13,
所以6是集合A6的“相关数”.
(Ⅱ)考察集合A2n的含有n+2个元素的子集B={n-1,n,n+1,…,2n},
B中任意4个元素之和一定不小于(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2.
所以n+2一定不是集合A2n的“相关数”;
所以当m≤n+2时,m一定不是集合A2n的“相关数”,
因此若m为集合A2n的“相关数”,必有m≥n+3,
即若m为集合A2n的“相关数”,必有m-n-3≥0;
(Ⅲ)由(Ⅱ)得 m≥n+3,
先将集合A2n的元素分成如下n组:
Ci=(i,2n+1-i),(1≤n),
对A2n的任意一个含有n+3个元素的子集p,
必有三组Ci1,Ci2,Ci3同属于集合P,
再将集合A2n的元素剔除n和2n后,分成如下n-1组:
Dj=(j,2n-j),(1≤j≤n-1),
对于A2n的任意一个含有n+3个元素的子集P,必有一组Dj4属于集合P,
这一组Dj4与上述三组Ci1,Ci2,Ci3中至少一组无相同元素,
不妨设Dj4与Ci3无相同元素.
此时这4个元素之和为[i1+(2n+1-i1)+(2n-j4)]=4n+1,
所以集合A2n的“相关数”m的最小值为n+3.
①对于A6的含有5个元素的子集{2,3,4,5,6},
因为2+3+4+5>13,
所以5不是集合A6的“相关数”;
②A6的含有6个元素的子集只有{1,2,3,4,5,6},
因为1+3+4+5=13,
所以6是集合A6的“相关数”.
(Ⅱ)考察集合A2n的含有n+2个元素的子集B={n-1,n,n+1,…,2n},
B中任意4个元素之和一定不小于(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2.
所以n+2一定不是集合A2n的“相关数”;
所以当m≤n+2时,m一定不是集合A2n的“相关数”,
因此若m为集合A2n的“相关数”,必有m≥n+3,
即若m为集合A2n的“相关数”,必有m-n-3≥0;
(Ⅲ)由(Ⅱ)得 m≥n+3,
先将集合A2n的元素分成如下n组:
Ci=(i,2n+1-i),(1≤n),
对A2n的任意一个含有n+3个元素的子集p,
必有三组Ci1,Ci2,Ci3同属于集合P,
再将集合A2n的元素剔除n和2n后,分成如下n-1组:
Dj=(j,2n-j),(1≤j≤n-1),
对于A2n的任意一个含有n+3个元素的子集P,必有一组Dj4属于集合P,
这一组Dj4与上述三组Ci1,Ci2,Ci3中至少一组无相同元素,
不妨设Dj4与Ci3无相同元素.
此时这4个元素之和为[i1+(2n+1-i1)+(2n-j4)]=4n+1,
所以集合A2n的“相关数”m的最小值为n+3.
看了设集合A2n={1,2,3,…...的网友还看了以下:
(1)已知集合M={xly^2=2x,y属于R}和集合P={(x,y)ly^2=2x,y属于R}, 2020-05-16 …
数学“M是P的真子集”与“M是P的真子集且P不包含于M”有什么区别?集合M={x|x=1+a^2, 2020-05-20 …
设P,Q为两个数集,P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三种元素,定义集合P+Q中的元素 2020-06-12 …
一、已知非空集合P满足:①P包含于{1,2,3,4,5}②若a∈P,则6-a∈P.符合上述条件的集 2020-07-28 …
设全集U,集合P.Q.M是U的子集,M≠空集,则P真包含于Q的一个充分非必要条件是()A.Q真包含 2020-07-29 …
已知全集S和集合M,N,P.M=N在S中的补集N=P在S中的补集,则M与P的关系是?A、M=P在S 2020-07-30 …
有限集合P中的个数记作card(P).一直card(M)=10,A包含于M,B包含于M,A∩B=空 2020-08-01 …
关于集合有限集合P中元素的个数记作card(P),已知card(M)=10,A包含于M,B包含于M 2020-08-01 …
已知集合{1,2}是集合P的真子集,集合P包含于集合{1,2,3,4,5},那么满足条件的集合P的 2020-08-01 …
已知集合{1,2}是集合P的真子集,集合P包含于集合{1,2,3,4,5},那么满足条件的集合P的 2020-08-01 …