任意整数N的倍数只含有0和7?对任意的整数N,存在着N的一个倍数,使得它仅由数字0和7组成.例如,N=3,我们有3*259=777；N=4,有4*1925=7700；N=5,有5*14=70.请证明之

Question

任意整数N的倍数只含有0和7?
对任意的整数N,存在着N的一个倍数,使得它仅由数字0和7组成.
例如,N=3,我们有3*259=777；N=4,有4*1925=7700；N=5,有5*14=70.
请证明之

Answer 1

考虑全部由7组成的N＋1个数：7、77、777、7777、...、777...7(由N＋1个7组成)
它们分别除以N得到的余数最多是0、1、2、...、N－1这N个不同的数
由抽屉原理知：上述N＋1个全由7组成的数中,至少有两个数除以N的余数相同
不妨设777...7(由m个7组成)与777...7(由k个7组成,且有m＞k)除以N的余数相等
则它们的差必是N的倍数,即数777...7000...0(由m－k个7和k个0组成)是N的倍数.