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任意整数N的倍数只含有0和7?对任意的整数N,存在着N的一个倍数,使得它仅由数字0和7组成.例如,N=3,我们有3*259=777;N=4,有4*1925=7700;N=5,有5*14=70.请证明之
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任意整数N的倍数只含有0和7?
对任意的整数N,存在着N的一个倍数,使得它仅由数字0和7组成.
例如,N=3,我们有3*259=777;N=4,有4*1925=7700;N=5,有5*14=70.
请证明之
对任意的整数N,存在着N的一个倍数,使得它仅由数字0和7组成.
例如,N=3,我们有3*259=777;N=4,有4*1925=7700;N=5,有5*14=70.
请证明之
▼优质解答
答案和解析
考虑全部由7组成的N+1个数:7、77、777、7777、...、777...7(由N+1个7组成)
它们分别除以N得到的余数最多是0、1、2、...、N-1这N个不同的数
由抽屉原理知:上述N+1个全由7组成的数中,至少有两个数除以N的余数相同
不妨设777...7(由m个7组成)与777...7(由k个7组成,且有m>k)除以N的余数相等
则它们的差必是N的倍数,即数777...7000...0(由m-k个7和k个0组成)是N的倍数.
它们分别除以N得到的余数最多是0、1、2、...、N-1这N个不同的数
由抽屉原理知:上述N+1个全由7组成的数中,至少有两个数除以N的余数相同
不妨设777...7(由m个7组成)与777...7(由k个7组成,且有m>k)除以N的余数相等
则它们的差必是N的倍数,即数777...7000...0(由m-k个7和k个0组成)是N的倍数.
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