证明y=x^1/3在区间（－∞,∞）内连续.但在点x=0处不可导

Question

证明y=x^1/3在区间（－∞,∞）内连续.但在点x=0处不可导

Answer 1

证明：函数y = f(x) = x^1/3 在区间(-∞,+∞)内连续,但在点x = 0处不可导.
因为在点x = 0处有
[f(0+h)-f(0)]/h = (h^(1/3) - 0)/h = 1/h^(2/3)
因此
极限 lim(h→0) [f(h+0)-f(0)]/h = lim(h→0) 1/h^(2/3) = +∞
即导数为无穷大(注意,导数不存在)
所以,函数y=3次根号x 在(0,0)处不可导
这事实在图形中表现为曲线 y=3次根号x 在原点O具有垂直于x轴的切线x=0 .