如图，二次函数y=ax2+bx+c=0（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：①abc>0；②9a+3b+c<0；③c>-1；④关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0

Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c=0（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：
①abc>0；②9a+3b+c<0；③c>-1；④关于x的方程ax²+bx+c=0（a≠0）有一个根为-

(1)/(a)
其中正确的结论个数有（　　）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

Answer 1

由图象开口向下，可知a<0，
与y轴的交点在x轴的下方，可知c<0，
又对称轴方程为x=2，所以-(b)/(2a)>0，所以b>0，
∴abc>0，故①正确；
由图象可知当x=3时，y>0，
∴9a+3b+c>0，故②错误；
由图象可知OA<1，
∵OA=OC，
∴OC<1，即-c<1，
∴c>-1，故③正确；
假设方程的一个根为x=-(1)/(a)，把x=-(1)/(a)代入方程可得(1)/(a)-(b)/(a)+c=0，
整理可得ac-b+1=0，
两边同时乘c可得ac²-bc+c=0，
即方程有一个根为x=-c，
由②可知-c=OA，而当x=OA是方程的根，
∴x=-c是方程的根，即假设成立，故④正确；
综上可知正确的结论有三个，
故选C．