已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为22，右焦点为F（1，0）．（1）求椭圆的方程；（2）设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OM⊥ON，求直线l的方程．

Question

已知椭圆E：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的离心率为(√(2))/(2)，右焦点为F（1，0）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OM⊥ON，求直线l的方程．

Answer 1

（1）依题意得，c=1，∴

(1)/(a)＝(√(2))/(2)

a2＝b2+1

；…（2分）
解得a=√(2)，b=1；
∴椭圆E的标准方程为(x2)/(2)+y²=1；…（4分）
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1，不符题意；…（5分）
②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k（x-1）；…（6分）
由

(x2)/(2)+y2＝1

y＝k(x−1)

得：[1+2k²]x²-4k²x+2（k²-1）=0，…（8分）
∴x₁+x₂=(4x2)/(1+2k2)，x₁•x₂=(2(k2−1))/(1+2k2)；…（10分）
∴y₁•y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=(−k2)/(1+2k2)；
又∵OM⊥ON，∴

OM

•

ON

=0；
∴x₁•x₂+y₁y₂=(k2−2)/(1+2k2)=0，
解得k=±√(2)，…（13分）
∴直线l的方程为：y=±√(2)（x-1）．…（14分）