设f(x)在[a,b]上二次可微,且f''(x)=(f(a)+f(b))/2

Question

设f(x)在[a,b]上二次可微,且f''(x)=(f(a)+f(b))/2

Answer 1

这个题感觉楼上做的好复杂,拿泰勒做一做吧
f（a）=f（x）+f’（x）（a-x）+f’‘（ξ1）（a-x）^2/2,得f（a）≤f（x）+f’（x）（a-x）
f（b）=f（x）+f’（x）（b-x）+f’‘（ξ2）（b-x）^2/2,得f（b）≤f（x）+f’（x）（b-x）
两个不等式加一下f（a）+f（b）≤2f（x）+f’（x）（a+b-2x）
在[a,b]上积分就得到要证的不等式
这个题其实还有一个衍生问题：就是1/(b-a)积分号f(t)dt与f（（a+b）/2）殊大.用的方法同样是泰勒