关于切平面的问题已知函数F可微,若T为曲面S:F(x,y,z)=0在点M0(x0,y0,z0)处的切平面,l为T上任意一条过M0的直线,求证:在S上存在一条曲线,该曲线在M0处的切线恰好为l

Question

关于切平面的问题
已知函数F可微,若T为曲面S:F(x,y,z)=0在点M0(x0,y0,z0)处的切平面,l为T上任意一条过M0的直线,求证:在S上存在一条曲线,该曲线在M0处的切线恰好为l

Answer 1

设A=偏F/偏x(x0,y0,z0),B=偏F/偏y(x0,y0,z0),C=偏F/偏z(x0,y0,z0)
则切平面T:A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 法线l1的方程为：（x-x0)/A=(y-y0)/B=(z-z0)/C
设l的方程为：（x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p 向量(A,B,C)与向量(m,n,p)的向量积为：(m1,n1,p1)
平面：m1(x-x0)+n1(y-y0)+p1(z-z0)=0 即是过l和l1的平面,
F(x,y,z)=0且m1(x-x0)+n1(y-y0)+p1(z-z0)=0 即是在S上在M0处的切线恰好为l的曲线.