f在区域D⊆R2上分别对每一自变量x和y是连续的，并且每当固定x时，f对y是单调的．证明：f是区域D上的二元连续函数．

Question

f在区域D⊆R²上分别对每一自变量x和y是连续的，并且每当固定x时，f对y是单调的．证明：f是区域D上的二元连续函数．

Answer 1

因为f在区域D⊆R²上分别对每一自变量x和y是连续的，
所以∀ɛ＞0，∃δ₁＞0，当|y-y₀|＜δ₁时，
|f(x0，y)−f(x0，y0)|＜(ɛ)/(2)；
∃δ₂＞0，当|x-x₀|＜δ₂时，
|f(x，y0−(δ1)/(2))−f(x0，y0−(δ1)/(2))|＜(ɛ)/(2)，①
|f(x，y0+(δ1)/(2))−f(x0，y0+(δ1)/(2))|＜(ɛ)/(2)．②
因此，∀ɛ＞0，取δ=min{(δ1)/(2)，δ2}，
则当√((x−x0)2+(y−y0)2)＜δ时，
|f(x0，y)−f(x0，y0)|＜(ɛ)/(2)，③
又因为当固定x时，f对y是单调的，
不妨设f对y单调增，从而由①、②可得，
f(x0，y0−(δ1)/(2))−(ɛ)/(2)＜f(x，y0−(δ1)/(2))＜f(x，y)＜f(x，y0+(δ1)/(2))＜f(x0，y0+(δ1)/(2))+(ɛ)/(2)；
再由③可得，
f(x0，y0+(δ1)/(2))＜f(x0，y0)+(ɛ)/(2)，
f(x0，y0−(δ1)/(2))＞f(x0，y0)−(ɛ)/(2)，
从而，
f(x0，y0)−(ɛ)/(2)＜f(x，y)＜f(x0，y0)+(ɛ)/(2)．
综上，∀ɛ＞0，取δ=min{(δ1)/(2)，δ2}，
则当√((x−x0)2+(y−y0)2)＜δ时，
即有：
|f（x，y）-f（x₀，y₀）|＜(ɛ)/(2)．
因此，f是区域D上的二元连续函数．