代数证明题（1）证明：若x取任意整数对,二次函数y＝ax平分+bx+c总取整数值,那么2a,a-b,c都是整数.（2）写出上述题的逆命题,并判断真假,且证明你的结论.

Question

代数证明题
（1）证明：若x取任意整数对,二次函数y＝ax平分+bx+c总取整数值,那么2a,a-b,c都是整数.
（2）写出上述题的逆命题,并判断真假,且证明你的结论.

Answer 1

令x=-1,得a-b+c为整数－－－－①
令x＝0,得c为整数－－－－②
令x＝1,得a+b+c为整数－－－－③
①＋③,得2a+2c为整数,由于c为整数从而2a为整数
由①②,得a-b为整数
逆命题成立（若x取任意整数,如果2a,a-b,c都是整数,那么二次函数y＝ax平方+bx+c总取整数值）：
当x=2k,y=(2a)2k平方＋（2a-2(a-b))k+c为整数；
当x=2k+1,y＝(2a)2k(k+1)+(2a-2(a-b))k+(2a-(a-b))＋c亦为整数