在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程x2-5x+2=0，操作步骤是：第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）；第二步：

Question

在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程x²-5x+2=0，操作步骤是：
第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A（0，1），B（5，2）；
第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；
第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实数根（如图1）；
第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n即为该方程的另一个实数根．

（1）在图2中，按照“第四步”的操作方法作出点D（请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹）；
（2）结合图1，请证明“第三步”操作得到的m就是方程x²-5x+2=0的一个实数根；
（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，b²-4ac≥0）的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；
（4）实际上，（3）中的固定点有无数对，一般地，当m₁，n₁，m₂，n₂与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P（m₁，n₁），Q（m₂，n₂）就是符合要求的一对固定点？

Answer 1

（1）如图所示，点D即为所求；


（2）如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D，

根据∠AOC=∠CDB=90°，∠ACO=∠CBD，可得△AOC∽△CDB，
∴(AO)/(CD)=(OC)/(BD)，
∴(1)/(5-m)=(m)/(2)，
∴m（5-m）=2，
∴m²-5m+2=0，
∴m是方程x²-5x+2=0的实数根；

（3）方程ax²+bx+c=0（a≠0）可化为
x²+(b)/(a)x+(c)/(a)=0，
模仿研究小组作法可得：A（0，1），B（-(b)/(a)，(c)/(a)）或A（0，(1)/(a)），B（-(b)/(a)，c）等；

（4）如图，P（m₁，n₁），Q（m₂，n₂），

设方程的根为x，根据三角形相似可得(n1)/(x-m1)=(m2-x)/(n2)，
上式可化为x²-（m₁+m₂）x+m₁m₂+n₁n₂=0，
又∵ax²+bx+c=0，即x²+(b)/(a)x+(c)/(a)=0，
∴比较系数可得m₁+m₂=-(b)/(a)，
m₁m₂+n₁n₂=(c)/(a)．