在平面直角坐标系中，已知An（n，an）、Bn（n，bn）、Cn（n-1，0）（n∈N*），满足向量A1An+1与向量BnCn共线，且点Bn（n，bn）（n∈N*）都在斜率为6的同一条直线上．（1）试用a1，b1与n来表示an；

Question

在平面直角坐标系中，已知A_n（n，a_n）、B_n（n，b_n）、C_n（n-1，0）（n∈N^*），满足向量

A1An+1

与向量

BnCn

共线，且点B_n（n，b_n）（n∈N^*）都在斜率为6的同一条直线上．
（1）试用a₁，b₁与n来表示a_n；
（2）设a₁=a，b₁=-a，且12＜a≤15，求数{a_n}中的最小值的项．

Answer 1

（1）∵点B_n（n，b_n）（n∈N*）都在斜率为6的同一条直线上，
∴(bn+1−bn)/((n+1)−n)＝6，即bn+1−bn＝6，
于是数列{b_n}是等差数列，故b_n=b₁+6（n-1）．
∵

AnAn+1

＝(1，an+1−an)，

BnCn

＝(−1，−bn)，又

AnAn+1

与

BnCn

共线，
∴1×（-b_n）-（-1）（a_n+1-a_n）=0，即a_n+1-a_n=b_n，
当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=a₁+b₁+b₂+b₃+…+b_n-1
=a₁+b₁（n-1）+3（n-1）（n-2），
当n=1时，上式也成立．
∴a_n=a₁+b₁（n-1）+3（n-1）（n-2）．
（2）把a₁=a，b₁=-a代入上式，
得an＝a−a(n−1)+3(n−1)(n−2)＝3n2−(9+a)n+6+2a．
∵12＜a≤15，∴(7)/(2)＜(9+a)/(6)≤4，
∴当n=4时，a_n取最小值，最小值为a₄=18-2a．