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在平面直角坐标系中,已知An(n,an)、Bn(n,bn)、Cn(n-1,0)(n∈N*),满足向量A1An+1与向量BnCn共线,且点Bn(n,bn)(n∈N*)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a1,b1与n来表示an;

题目详情
在平面直角坐标系中,已知An(n,an)、Bn(n,bn)、Cn(n-1,0)(n∈N*),满足向量
A1An+1
与向量
BnCn
共线,且点Bn(n,bn)(n∈N*)都在斜率为6的同一条直线上.
(1)试用a1,b1与n来表示an
(2)设a1=a,b1=-a,且12<a≤15,求数{an}中的最小值的项.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵点Bn(n,bn)(n∈N*)都在斜率为6的同一条直线上,
bn+1−bn
(n+1)−n
=6,即bn+1−bn=6,
于是数列{bn}是等差数列,故bn=b1+6(n-1).
AnAn+1
=(1,an+1−an),
BnCn
=(−1,−bn),又
AnAn+1
BnCn
共线,
∴1×(-bn)-(-1)(an+1-an)=0,即an+1-an=bn
当n≥2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1
=a1+b1+b2+b3+…+bn-1
=a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-2),
当n=1时,上式也成立.
∴an=a1+b1(n-1)+3(n-1)(n-2).
(2)把a1=a,b1=-a代入上式,
an=a−a(n−1)+3(n−1)(n−2)=3n2−(9+a)n+6+2a.
∵12<a≤15,∴
7
2
9+a
6
≤4,
∴当n=4时,an取最小值,最小值为a4=18-2a.