N>=2,a1,a2...an>-1,且符号相同.求证(1+a1)(1+a2)...(1+an)>1+a1+a2+...+an.

Question

N>=2,a1,a2...an>-1,且符号相同.
求证 (1+a1)(1+a2)...(1+an)>1+a1+a2+...+an.

Answer 1

用归纳法证明
因为 N>=2,
所以 当n=2时
左边 = (1+a1)(1+a2)
= 1 + a1 + a2 +a1*a2
又因为a1,a2...an>-1,且符号相同
所以 a1*a2 > 0
即 (1+a1)(1+a2) > 1 + a1 + a2
假设 当 n=k时不等式依然成立
即(1+a1)(1+a2)...(1+ak)>1+a1+a2+...+ak
当 n = k+1时
左边 (1+a1)(1+a2)...(1+ak)[1+a(k+1)]
> (1+a1+a2+...+ak)[1+a(k+1)]
= 1+a1+a2+...+ak+a(k+1)+a1a(k+1)+a2a(k+1)+...+aka(k+1)
> 1+a1+a2+...+ak+a(k+1)
所以原命题成立