在数列{an}中,设S1=a1+a2+…+an,S2=an+1+an+2+…+a2n,…在数列{an}中,设S1=a1+a2+…+an,S2=an+1+an+2+…+a2n,S3=a2n+1+a2n+2+…+a3n.(1)如果{an}是以d为公差的等差数列,求证S1,S2,S3也是等差数列,并求其公差.(2)如果{an}是

Question

在数列{an}中,设S1=a1+a2+…+an,S2=an+1+an+2+…+a2n,…
在数列{an}中,设S1=a1+a2+…+an,S2=an+1+an+2+…+a2n,S3=a2n+1+a2n+2+…+a3n.
(1)如果{an}是以d为公差的等差数列,求证S1,S2,S3也是等差数列,并求其公差.
(2)如果{an}是以q为公比的等比数列,求证S1,S2,S3也是等比数列,并求其公比
尤其第二问

Answer 1

证明：
1）S2=a(n+1)+a(n+2)+…+a(2n)=(a1+nd)+(a2+nd)+(a3+nd)+···+(an+nd)=S1+n^2*d
S3=a(2n+1)+a(2n+2)+···+a(3n)=(a(n+1)+nd)+(a(n+2)+nd)+···+(a(2n)+nd)=S2+n^2*d=S1+2*n^2*d
因此,S1、S2、S3成等差数列,其公差为n^2*d
2）S2=a(n+1)+a(n+2)+…+a(2n)=q^n*a1+q^n*a2+···+q^n*an=q^n(a1+a2+···an）=q^n*S1
S3=a(2n+1)+a(2n+2)+···+a(3n)=q^n*a(n+1)+q^n*a(n+2)+···+q^n*a(2n)=q^n*（a(n+1)+a(n+2)+a(n+3)+···+a(2n))=q^n*S2
因此,S1、S2、S3成等比数列,公比为q^n