不等式已知ai属于R+(i=1,2.n)且a1+a2+...+an=1,求证a1\(1+a2+a3+...+an)+a2\(1+a1+a3+a4+...+an)+...+an\(1+a1+a2+...+a(n-1))≥n\(2n-1)

Question

不等式
已知ai属于R+(i=1,2.n)且a1+a2+...+an=1,求证a1\(1+a2+a3+...+an)+a2\(1+a1+a3+a4+...+an)+...+an\(1+a1+a2+...+a(n-1))≥n\(2n-1)

Answer 1

ai∈R+(i=1,2.n)且a1+a2+...+an=1,
∴a1/(1+a2+a3+……+an)=a1/(2-a1)=-1-2/(a1-2),余者类推,
设f(x)=x/(2-x)=-1-2/(x-2),则f'(x)=2/(x-2)^2,f''(x)=-4/(x-2)^3,0=nf[(a1+a2+……+an)/n]=nf(1/n)=n(1/n)/(2-1/n)=n/(2n-1)=右边.