设函数f(x)=sin^2nxx并非与2n相乘,而是sinx的2n次方,下面也是如此+cos^2nx,n∈N﹢,X∈R,请根据三角变换的知识,先分别求出n=1,2,3时函数f(x)的值域,并进一步猜测f(x)值域的一般形式.最好有证明

Question

设函数f(x)=sin^2n x【x并非与2n相乘,而是sinx的2n次方,下面也是如此】+cos^2n x,n∈N﹢,X∈R,
请根据三角变换的知识,先分别求出n=1,2,3时函数f(x)的值域,并进一步猜测f(x)值域的一般形式.【最好有证明过程】

Answer 1

n=1,f(x)=1;n=2,f(x)∈[1/2,1]；n=3,f(x)∈[1/4,1]
那么一般地,设sin^2 x=A,cos^2 x=B,则A+B=1,f(x)=A^n +B^n .由Lagrange乘数法,设F （A,B）=A^n +B^n+λ(A+B).则由F＇A=F＇ B=0,可得到取最小值的条件是A=B=1/2,那么f(x)min=(1/2)∧n-1,f (x)max=1
如果要求初等证明的话,由琴生不等式可知A∧n+B∧n 〉=2（（A+B）/2）∧n=(1/2)∧n-1；又A∧n+B∧n