用数学归纳法证明x2n+1次方+Y2N+1次方能被X+Y整除

Question

用数学归纳法证明x2n+1次方+Y2N+1次方能被X+Y整除

Answer 1

题目中x y 应该为整数吧
当n=0时,
x^(2n+1)+y^(2n+1)=x+y 能被整除
当n=1时,
x^(2n+1)+y^(2n+1)=x^3+y^3=(x+y)(x^2+Y^2-xy)
当n=2时,
x^(2n+1)+y^(2n+1)=x^3+y^3=(x^3+y^3)(x^2+Y^2)-(Y^3*x^2+x^3*y^2)
=(x^3+y^3)(x^2+Y^2)-x^2*y^2(x+y)
两个数都能被x+y整除
假设当n=k是,满足条件
x^(2n+1)+y^(2n+1)=x^(2k+1)+y^(2k+1)=（（x+y）*m m为整数
假设当n=k-1是,满足条件
x^(2n+1)+y^(2n+1)=x^(2k+1)+y^(2k+1)=（（x+y）*p p为整数

那么当n=k+1时

x^(2n+1)+y^(2n+1)=x^(2k+3)+y^(2k+3）
=（x^(2k+1)+y^(2k+1）)*(x^2+y^2)-(x^(2k+1)*y^2+y^(2k+1)*x^2)
=m*(x^2+y^2)*(x+y)-x^2*y^2*（x^(2k-1)+y^(2k-1））
=m*(x^2+y^2)*(x+y)-p*x^2*y^2*（x+y）
上述两个都能被x+y整除


所以结论成立