秦九韶算法求乘方次数若用秦九韶算法求n次多项式f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+.+a[1]x+a[0]当X=Xo时的值f(x),需要几次乘方?

Question

秦九韶算法求乘方次数
若用秦九韶算法求n次多项式f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+.+a[1]x+a[0] 当X=Xo 时的值f(x),需要几次乘方?

Answer 1

秦九韶算法 秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法.在西方被称作霍纳算法（Horner algorithm或Horner scheme）,是以英国数学家威廉·乔治·霍纳命名的.
把一个n次多项式f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1)+.+a[1]x+a[0]改写成如下形式：
f(x)=a[n]x^n+a[n-1]x^(n-1))+.+a[1]x+a[0]
=(a[n]x^(n-1)+a[n-1]x^(n-2)+.+a[1])x+a[0]
=((a[n]x^(n-2)+a[n-1]x^(n-3)+.+a[2])x+a[1])x+a[0]
=.
=(.((a[n]x+a[n-1])x+a[n-2])x+.+a[1])x+a[0].
求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即
v[1]=a[n]x+a[n-1]
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v[2]=v[1]x+a[n-2]
v[3]=v[2]x+a[n-3]
.
v[n]=v[n-1]x+a[0]
这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个一次多项式的值.
（注：中括号里的数表示下标）
结论：对于一个n次多项式,至多做n次乘法和n次加法.
乘方是N=2,最多算两次.