排列组合证明rCr+(r+1)Cr+.+nCr=(n+1)C(r+1)如何用数学归纳法证明.

Question

排列组合证明
rCr+(r+1)Cr+.+nCr=(n+1)C(r+1)如何用数学归纳法证明.

Answer 1

n=r时,rCr=(r+1)C(r+1)=1,等式成立.
假设n=k（k>=r)时,等式成立,即rCr+(r+1)Cr+.+kCr=(k+1)C(r+1),
那么n=k+1时有
rCr+(r+1)Cr+.+kCr+(k+1)Cr=(k+1)C(r+1)+(k+1)Cr=(k+2)C(r+1),
即n=k+1时等式也成立.
综上,对n>=r的自然数n,rCr+(r+1)Cr+.+nCr=(n+1)C(r+1)均成立.