一个高2m的人要将一个高10m的杆子立起来.杆子一头固定在地面上,人举着杆子,人和杆子的接触点保持在距地面2m(人的高度）.人朝杆子固定点走,让杆子慢慢竖直.人走向杆子固定点的速度为1m/s.

Question

一个高2m的人要将一个高10m的杆子立起来.杆子一头固定在地面上,人举着杆子,人和杆子的接触点保持在距地面2m(人的高度）.人朝杆子固定点走,让杆子慢慢竖直.人走向杆子固定点的速度为1m/s.
求：1.当人据杆子固定点4m时,杆子的坡(slope)的改变速度(change of rate)?
2.当人据杆子固定点4m时,杆子顶点的升高(vertical rising)速度（rate)?

Answer 1

设杆子固定点在原点O,人和杆子的接触点C 的座标为C(x,y).
dx/dt = -1 m/s,所以 x = -t + x0,x0=10m,所以 x = -t+10 = 10 - t
当 x = 4,t = 6
接触点C 的 y-座标都是2m,所以杆子的斜率(坡度) m = 2/x
dm/dt = (dm/dx)*(dx/dt) = [-2x^(-2)](-1) = 2(10-t)^(-2)
当 x = 4,t = 6,dm/dt = 1/8
设杆子顶点座标为T(X,Y),则[T,O,(X,0)] 和 [C(x,y),O,(x,0)]为两个相似三角形.
所以 [(4+x^2)^(1/2)]/10 = 2/Y,Y = 20/[(4+x^2)^(1/2)] = 20* [(4+x^2)^(-1/2)]
dY/dt = dY/dx * dx/dt = 20x [(4+x^2)^(-3/2)] (这里需要将x(t) 代进去求 t 的函数)
当 x = 4,t = 6,dY/dt = (2/5)*根号5