第二型面积分和高斯公式第二型面积分可以用高斯公式变成3重积分,但是正负号如何判断呢?比如∫∫x(cos(1+z))^2dy∧dz+y(sin(1+z))^2dz∧dx-4(x^2+y^2+z)dx∧dy，面∑是半球面z=-（1-x^2-y^2)^1/2的上侧，为

Question

第二型面积分和高斯公式
第二型面积分可以用高斯公式变成3重积分,但是正负号如何判断呢?
比如∫∫x(cos(1+z))^2dy∧dz+y(sin(1+z))^2dz∧dx-4(x^2+y^2+z)dx∧dy，面∑是半球面z=-（1-x^2-y^2)^1/2的上侧，为什么结果用高斯公式前面要加个负号？

Answer 1

题目会告诉你积分曲面的方向.假如所积分的曲面是闭合的曲面,那么方向向里就是负号,向外就是正号.假如所给的曲面不是闭合的,这时你需要作辅助面使其成为闭合的曲面,这时,方向向里为负号,外为正号.
用高斯定理进行第二类曲面积分,往往是曲面较为复杂而通过添加简单的曲面,如,平面（尤其是平行于坐标面得平面）,就可形成闭合曲面.而一般情况,还是直接积分比较好.