n从1到无穷,n*x^n的和公式怎么求?变成n从0到无穷会有什么区别?如果是n*x^(n+1)呢?看着都用不上等比数列的样子.求方法.

Question

n从1到无穷,n*x^n的和公式怎么求?
变成n从0到无穷会有什么区别?
如果是n*x^(n+1)呢?
看着都用不上等比数列的样子.求方法.

Answer 1

1/(1-x) = 1+x+x^2+...+x^n+...
两边求导,得：
1/（1-x)^2 = 0+1+2x+...+nx^(n-1) +...
两边乘x得：
x/（1-x)^2 = x+2x^2 +...+nx^n+...
两边再乘x得：
x^2/(1-x)^2 = x+2x^3+...+nx^(n+1)+...