一道高数导数题①设f(x)在x=x0的某邻域可导,且f'(x0)=A,则lim(x→x0)f'(x)存在等于A.②设f(x)在x=x0处连续,且lim(x→x0)f'(x)存在等于A,则f'(x0)存在等于A.这两个命题中第一个是错的,第二个是对

Question

一道高数导数题
①设 f(x)在x=x0的某邻域可导,且f '(x0)=A,则 lim(x→x0) f '(x)存在等于A.
②设 f(x)在x=x0处连续,且 lim(x→x0) f '(x)存在等于A,则 f '(x0)存在等于A.
这两个命题中第一个是错的,第二个是对的,第一个错在哪,他和第二个有什么差别

Answer 1

1、第一个只能说明f(x)在x0可导,但如果导数不连续,则结论不准确.比如
f(x)=x^2sin1/x,当x不等于0时；f(0)=0.这个函数处处可导,但导数在x=0不连续,因此没有
lim f'(x)=f'(x0).
2、结论是准确的,此时可以证明导数在x0是连续的.
实际上,利用洛必达法则知道lim (f(x)--f(x0)/(x--x0)=lim f‘(x)=A,因此f'(x0)=A,再由条件知f'(x)在x0连续.