一个微积分,∫(2a-y)dx+(a-x)dy,其中x=a(t-sint),y=a(1-cost)(0

Question

一个微积分,
∫(2a-y)dx+(a-x)dy,其中x=a(t-sint),y=a(1-cost) (0

Answer 1

dx＝a（1－cost）dt,
dy＝a*sintdt.
∫（2a－y）dx＋∫（a－x）dy
＝∫〔2a－a（1－cost）〕*a（1－cost）dt＋∫〔a－a（t－sint）〕*a*sint*dt
＝（a＾2）∫〔（sint）＾2〕dt＋（a＾2）∫〔sint－t*sint＋（sint）＾2〕dt
＝（a＾2）｛∫2〔（sint）＾2〕dt＋∫（sint）dt－∫（t*sint）dt｝
＝（a＾2）｛t－（1／2）sin2t－cost＋t*cost－sint＋c｝.
∴从t＝0到t＝2π的积分为
（a＾2）〔（2π－1＋2π）－（－1）〕＝4π（a＾2）.