1、各变量值对某任意数的方差为500,而这个任意数与变量平均数之差为12,求变量的方差2、各变量值的平均数为80,标准差系数为50%,求各变量值对50的方差

Question

1、各变量值对某任意数的方差为500,而这个任意数与变量平均数之差为12,求变量的方差
2、各变量值的平均数为80,标准差系数为50%,求各变量值对50的方差

Answer 1

a为任意数,可推导出：
E((X-a)^2)
=E(((X-E(X))+(E(X)-a))^2)
=E((X-E(X))^2)+(E(X)-a)^2+2*E(X-E(X))*(E(X)-a)
=E((X-E(X))^2)+(E(X)-a)^2+2*0*(E(X)-a)
=D(X)+(E(X)-a)^2.
也就是说,变量对某个数的方差,等于变量自身的方差,加上这个数和期望值距离的平方.也说明了一个重要的统计学事实,用E(X)来做为对X的一个常数估计,是方差最小的估计,任何其他的常数估计,方差都只会更大（因为(E(X)-a)^2是非负的）.这条原则,被广泛地运用于人们的生活之中.
（1）E((X-a)^2)=500,E(X)-a=12,所以
D(X)=E((X-a)^2)-(E(X)-a)^2=500-12^2=500-144=356.
（2）sigma=50% x 80=40,故D(X)=40^2=1600.
E((X-a)^2)=D(X)+(E(X)-a)^2=1600+(80-50)^2=1600+30^2=1600+900=2500.