已知二次函数f(x)=ax^2+2bx+c中,a、b、c为整数,且f(0)、f(1)是奇数（1）问a是奇数还是偶数,并说明理由.(2)证明函数f(x)不存在整数零点.

Answer 1

(1) f(0) = c 而 f（0）为奇数,所以c为奇数
f（1） = a + 2b + c ,2b为偶数,c为奇数,f（1）为奇数,所以a为偶数.
（2）当x为偶数时,ax^2为偶数,2bx为偶数,c为奇数,进行加减运算之后,结果肯定为奇数,所以不会等于零,所以不存在偶数零点.
当x为奇数时,ax^2为偶数,2bx为偶数,c为奇数,设g（x） = f（x）-f（0） = ax^2 + 2bx,那么g（x） = 偶数+偶数 = 偶数,那么f（x） = g（x) +f（0）= 偶数 + 奇数 = 奇数,因此f（x）仍旧不可能为0,所以不存在奇数零点.
所以f（x）不存在整数零点.