已知函数F(X)定义在(-1,1)上的奇函数,当X属于(0,1),有F(X）=2^x/4^x+1（1）求函数F(X)在(-1,1)上的解析式（2）判断函数F(X)在（-1,1）上的单调性,并加以证明.（3）解不等式F(X^2-2）+F（2X-1)

Question

已知函数F(X)定义在(-1,1)上的奇函数,当X属于(0,1),有F(X）=2^x/4^x+1
（1）求函数F(X)在(-1,1)上的解析式
（2）判断函数F(X)在（-1,1）上的单调性,并加以证明.
（3）解不等式F(X^2-2）+F（2X-1)

Answer 1

（1）x∈(-1,0)时,-x∈(0,1).
f(-x)=2^(-x)/(4^(-x)+1)= 2^x/(4^x+1)
∴f(x)=- f(-x) =- 2^x/(4^x+1) (x∈(-1,0))
对于奇函数来说,f(-x)=- f(x)且f(0)=0
综上x∈(0,1)时,f(x)=2^x/(4^x+1)
X=0时,f(0)=0
x∈(-1,0)时,f(x)= - 2^x/(4^x+1)
(2)0f（1-2x)
又f(x)在（-1,1）是减函数,所以只要证明X^2-20
证明：X^2-2