已知函数f（x）=lg1+x1+ax（a≠1）是奇函数，（1）求a的值；（2）若g（x）=f（x）+21+2x，x∈（-1，1），求g（12）+g（-12）的值．

Question

已知函数f（x）=lg(1+x)/(1+ax)（a≠1）是奇函数，
（1）求a的值；
（2）若g（x）=f（x）+(2)/(1+2x)，x∈（-1，1），求g（(1)/(2)）+g（-(1)/(2)）的值．

Answer 1

（1）因为函数f（x）=lg(1+x)/(1+ax)是奇函数；
所以：f（-x）+f（x）=0⇒lg(1+x)/(1+ax)+lg(1−x)/(1−ax)=0⇒lg(1−x2)/(1−a2x2)=0⇒(1−x2)/(1−a2x2)=1．
∴a=±1，又a≠1，
∴a=-1．
（2）∵g（x）=f（x）+(2)/(1+2x)，且f（x）为奇函数，
∴g（(1)/(2)）+g（-(1)/(2)）=f（(1)/(2)）+f（-(1)/(2)）+(2)/(1+2(1)/(2))+(2)/(1+2−(1)/(2))
=2（√(2)-1）+(2√(2))/(√(2)+1)
=2．