已知点P1（-2，3），P2（0，1），圆C是以P1P2的中点为圆心，12|P1P2|为半径的圆．（Ⅰ）若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线方程；（Ⅱ）若P（x，y）是圆C外一点，从P向圆C引切线PM，M为

Question

已知点P₁（-2，3），P₂（0，1），圆C是以P₁P₂的中点为圆心，(1)/(2)|P₁P₂|为半径的圆．
（Ⅰ）若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线方程；
（Ⅱ）若P（x，y）是圆C外一点，从P向圆C引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．

Answer 1

（Ⅰ）∵点P₁（-2，3），P₂（0，1），圆C是以P₁P₂的中点为圆心，(1)/(2)|P₁P₂|为半径的圆
∴C（-1，2），(1)/(2)|P₁P₂|=√(2)
∴圆C的方程为（x+1）²+（y-2）²=2，
当切线过原点时，设切线方程为y=kx，则(|k+2|)/(√(k2+1))=√(2)，
∴k=2±√(6)，即切线方程为y=（2±√(6)）x．
当切线不过原点时，设切线方程为x+y=a，则(|-1+2-a|)/(√(2))=√(2)，
∴a=-1或a=3，即切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0．
综上知，切线方程为y=（2±√(6)）x或x+y+1=0或x+y-3=0；
（Ⅱ）因为|PO|²+r²=|PC|²，所以x₁²+y₁²+2=（x₁+1）²+（y₁-2）²，即2x₁-4y₁+3=0．
要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．
当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时，即直线PO的方程为2x+y=0时，|PM|最小，
此时P点即为两直线的交点，得P点坐标（-(3)/(10)，(3)/(5)）．