已知函数f（x）=ax2+x，（a∈R且a≠0）（1）对于任意的实数x1，x2，比较12[f(x1)+f(x2)]与f(x1+x22)的大小；（2）若x∈[0，1]时，有|f（x）|≤1，求实数a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=ax²+x，（a∈R且a≠0）
（1）对于任意的实数x₁，x₂，比较(1)/(2)[f(x1)+f(x2)]与f((x1+x2)/(2))的大小；
（2） 若x∈[0，1]时，有|f（x）|≤1，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）(1)/(2)[f(x1)+f(x2)]-f((x1+x2)/(2))=(a)/(4)(x1-x2)²
当a>0时，(1)/(2)[f(x1)+f(x2)]-f((x1+x2)/(2))≥0，
即(1)/(2)[f(x1)+f(x2)]≥f((x1+x2)/(2))；
当a<0时，(1)/(2)[f(x1)+f(x2)]≤f((x1+x2)/(2))．
（2）∵x∈[0，1]
当x=0时，|f（x）|=0符合题意；
当x∈（0，1]时，|f（x）|≤1
即

ax2+x≤1

ax2+x≥-1

∴

a≤(1)/(x2)-(1)/(x)

a≥-(1)/(x2)-(1)/(x)

∴-2≤a≤0
又∵a≠0，∴-2≤a<0