已知函数f（x）=|xex|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围．

Question

已知函数f（x）=|xe^x|，方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围______．

Answer 1

f（x）=|xe^x|=

xex  (x≥0)

−xex(x＜0)

当x≥0时，f^′（x）=e^x+xe^x≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；
当x＜0时，f^′（x）=-e^x-xe^x=-e^x（x+1），
由f^′（x）=0，得x=-1，当x∈（-∞，-1）时，f^′（x）=-e^x（x+1）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（-1，0）时，f^′（x）=-e^x（x+1）＜0，f（x）为减函数，
所以函数f（x）=|xe^x|在（-∞，0）上有一个最大值为f（-1）=-（-1）e^-1=(1)/(e)，
要使方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，
令f（x）=m，则方程m²+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在(0，(1)/(e))内，一个根在((1)/(e)，+∞)内，
再令g（m）=m²+tm+1，
因为g（0）=1＞0，
则只需g（(1)/(e)）＜0，即((1)/(e))2+(1)/(e)t+1＜0，解得：t＜-(e2+1)/(e)．
所以，使得函数f（x）=|xe^x|，方程f²（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根的t的取值范围
是(−∞，−(e2+1)/(e))．
故答案为(−∞，−(e2+1)/(e))．