已知函数f（x）=ex，g（x）=mx+n．（1）设h（x）=f（x）-g（x）．①若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n=0时，若函数h（x）在（-1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2

Question

已知函数f（x）=e^x，g（x）=mx+n．
（1）设h（x）=f（x）-g（x）．
①若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；
②当n=0时，若函数h（x）在（-1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；
（2）设函数r（x）=(1)/(f(x))+(nx)/(g(x))，且n=4m（m>0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．

Answer 1

（1）①h（x）=f（x）-g（x）=e^x-mx-n．
则h（0）=1-n，函数的导数f′（x）=e^x-m，
则f′（0）=1-m，则函数在x=0处的切线方程为y-（1-n）=（1-m）x，
∵切线过点（1，0），∴-（1-n）=1-m，即m+n=2．
②当n=0时，h（x）=f（x）-g（x）=e^x-mx．
若函数h（x）在（-1，+∞）上没有零点，
即e^x-mx=0在（-1，+∞）上无解，
若x=0，则方程无解，满足条件，
若x≠0，则方程等价为m=(ex)/(x)，
设g（x）=(ex)/(x)，
则函数的导数g′（x）=(ex(x-1))/(x2)，
若-1<x<0，则g′（x）<0，此时函数单调递减，则g（x）<g（-1）=-e^-1，
若x>0，由g′（x）>0得x>1，
由g′（x）<0，得0<x<1，即当x=1时，函数取得极小值，同时也是最小值，此时g（x）≥g（1）=e，
综上g（x）≥e或g（x）<-e^-1，
若方程m=(ex)/(x)无解，则-e^-1≤m<e．
（2）∵n=4m（m>0），
∴函数r（x）=(1)/(f(x))+(nx)/(g(x))=(1)/(ex)+(nx)/(mx+n)=(1)/(ex)+(4x)/(x+4)，
则函数的导数r′（x）=-(1)/(ex)+(16)/((x+4)2)=(16ex-(x+4)2)/(ex(x+4)2)，
设h（x）=16e^x-（x+4）²，
则h′（x）=16e^x-2（x+4）=16e^x-2x-8，
[h′（x）]′=16e^x-2，
当x≥0时，[h′（x）]′=16e^x-2>0，则h′（x）为增函数，即h′（x）>h′（0）=16-8=8>0，
即h（x）为增函数，∴h（x）≥h（0）=16-16=0，
即r′（x）≥0，即函数r（x）在[0，+∞）上单调递增，
故r（x）≥r（0）=(1)/(e0)+0=1，
故当x≥0时，r（x）≥1成立．