设f为定义在（a，+∞）上的函数，在每一有限区间（a，b）上有界，且limx→+∞[f（x+1）-f（x）]=A，证明limx→+∞f(x)x=A．

Question

设f为定义在（a，+∞）上的函数，在每一有限区间（a，b）上有界，且

lim

x→+∞

[f（x+1）-f（x）]=A，证明

lim

x→+∞

(f(x))/(x)=A．

Answer 1

证明：由

lim

x→+∞

[f(x+1)−f(x)]＝A，知，
对任意ε＞0，存在M＞a，当x≥M时，有-ε＜[f（x+1）-f（x）]-A＜ε，
于是有-nε＜[f（x+n）-f（x）]-nA＜nε，（n=1，2，…）；
∴−ε＜(f(x+n)−f(x))/(n)−A＜ε，
∴−ε＜(f(y)−f(y−[y−x]))/([y−x])−A＜ε，
又(f(y))/(y)＝([y−x])/(y)(f(y)−f(y−[y−x]))/([y−x])+(f(y−[y−x]))/(y)，
∴

lim

y→+∞

(f(y))/(y)=

lim

y→+∞

([y−x])/(y)(f(y)−f(y−[y−x]))/([y−x])+

lim

y→+∞

(f(y−[y−x]))/(y)
而在每一有限区间（a，b）上有界，因此

lim

y→+∞

(f(y−[y−x]))/(y)＝0
且

lim

x→+∞

[f（x+1）-f（x）]=A，得([y−x])/(y)(f(y)−f(y−[y−x]))/([y−x])＝A
∴

lim

y→+∞

(f(y))/(y)=A
即

lim

x→+∞

(f(x))/(x)=A