微分中值定理相关设f(x)在有限区间(a,b)内可导,但f(x)无界,试证在区间(a,b)内也无界这就是原题可是我觉得,如有有f(x)=x,那么f(x)无界,在(a,b)也可微.无法证明其在(a,b)内无界啊.

Question

微分中值定理相关 设f(x)在有限区间(a,b)内可导,但f(x)无界,试证在区间(a,b)内也无界 这就是原题
可是我觉得,如有有f(x)=x,那么f(x)无界,在(a,b)也可微.无法证明其在(a,b)内无界啊.

Answer 1

1.证导函数无界.
任给 x,x0 属于 （a,b）,存在 y 在x,x0 之间.使得:
f'(y) = f(x)-f(x0)/(x-x0).
所以 |f'(y)| >= |f(x)|/(b-a) - |f(x0)/(b-a)|.
固定x0,因函数无界,可以变动 x 使得 |f(x)| 大于任意指定正数,从而|f'(y)| 可以大于任意指定正数.所以 f'(x) 在(a,b)内也无界.
f'(x) 无界而f(x) 有界的例子：
f(x) = sin（1/x),x属于 （0,1）.