函数f（x）连续，则下列函数中，必为偶函数的是（）A．∫x0f（t2）dtB．∫x0f2（t）dtC．∫x0t[f（t）-f（-t）]dtD．∫x0t[f（t）+f（-t）]dt

Question

函数f（x）连续，则下列函数中，必为偶函数的是（　　）

A．

∫

x  0

f（t²）dt
B．

∫

x  0

f²（t）dt
C．

∫

x  0

t[f（t）-f（-t）]dt
D．

∫

x  0

t[f（t）+f（-t）]dt

Answer 1

F（x）=

∫

x 0

f(t)dt奇偶关系为：
当f（t）为奇函数时，F（x）为偶函数；
当f（t）为偶函数时，F（x）为奇函数，
题目要求为偶函数，因此只要被积函数为奇函数即满足题意．
选项A：
g（t）=f（t²）
g（-t）=f[（-t）²]=f（t²）=g（t）
为偶函数，故A选项不对．
选项B：g（t）=f²（t）
g（-t）=f²（-t）
无法判断奇偶性，故B选项不对．
选项C：
g（t）=t[f（t）-f（-t）]
g（-t）=-t[f（-t）-f（t）]=t[f（t）-f（-t）]=g（t）
为偶函数，故C选项不对．
选项D：
g（t）=t[f（t）+f（-t）]
g（-t）=-t[f（-t）+f（t）]=-t[f（t）+f（-t）]=-g（t）
为奇函数，故D选项满足题意．
综上所述，
故选：D．