若函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象与x轴相切于一点A（m，0）（m≠0），且f（x）的极大值为12，则m的值为（）A.-23B.-32C.23D.32

Question

若函数f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）的图象与x轴相切于一点A（m，0）（m≠0），且f（x）的极大值为

(1)/(2)，则m的值为（　　）

A. -

(2)/(3)

B. -

(3)/(2)

C.

(2)/(3)

D.

(3)/(2)

Answer 1

∵f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R），
∴f′（x）=3x²+2ax+b，
∵f（x）的图象与x轴相切于一点A（m，0）（m≠0），
∴

3m2+2am+b=0

m2+am+b=0

，解得

a=-2m

b=m2

，
∴f′（x）=（3x-m）（x-m），
m>0时，令f′（x）>0，解得：x>m或x<(m)/(3)，
令f′（x）<0，解得：(m)/(3)<x<m，
∴f（x）在（-∞，(m)/(3)）递增，在（(m)/(3)，m）递减，在（m，+∞）递增，
∴f（x）_极大值=f（(m)/(3)）=(1)/(2)，解得：m=(3)/(2)，
m<0时，令f′（x）>0，解得：x<m或x>(m)/(3)，
令f′（x）<0，解得：(m)/(3)>x>m，
∴f（x）在（-∞，m）递增，在（m，(m)/(3)）递减，在（(m)/(3)，+∞）递增，
∴f（x）_极大值=f（m）=(1)/(2)，而f（m）=0，不成立，
综上，m=(3)/(2)，
故选：D．