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已知O是坐标原点,点A的坐标是(5,0),点B是y轴正半轴上一动点,以OB,OA为边作矩形OBCA,点E,H分别在边BC和边OA上,将△BOE沿着OE对折,使点B落在OC上的F点处,将△ACH沿着CH对折,使点A
题目详情
已知O是坐标原点,点A的坐标是(5,0),点B是y轴正半轴上一动点,以OB,OA为边作矩形OBCA,点E,H分别在边BC和边OA上,将△BOE沿着OE对折,使点B落在OC上的F点处,将△ACH沿着CH对折,使点A落在OC上的G点处.
(1)求证:四边形OECH是平行四边形;
(2)当点B运动到使得点F,G重合时,求点B的坐标,并判断四边形OECH是什么四边形?说明理由;
(3)当点B运动到使得点F,G将对角线OC三等分时,求点B的坐标.

(1)求证:四边形OECH是平行四边形;
(2)当点B运动到使得点F,G重合时,求点B的坐标,并判断四边形OECH是什么四边形?说明理由;
(3)当点B运动到使得点F,G将对角线OC三等分时,求点B的坐标.

▼优质解答
答案和解析
(1)证明:如图1,
∵四边形OBCA为矩形,
∴OB∥CA,BC∥OA,
∴∠BOC=∠OCA,
又∵△BOE沿着OE对折,使点B落在OC上的F点处;△ACH沿着CH对折,使点A落在OC上的G点处,
∴∠BOC=2∠EOC,∠OCA=2∠OCH,
∴∠EOC=∠OCH,
∴OE∥CH,
又∵BC∥OA,
∴四边形OECH是平行四边形;
(2)点B的坐标是(0,
);四边形OECH是菱形.理由如下:如图2,
∵△BOE沿着OE对折,使点B落在OC上的F点处;△ACH沿着CH对折,使点A落在OC上的G点处,
∴∠EFO=∠EBO=90°,∠CFH=∠CAF=90°,
∵点F,G重合,
∴EH⊥OC,
又∵四边形OECH是平行四边形,
∴平行四边形OECH是菱形,
∴EO=EC,
∴∠EOC=∠ECO,
又∵∠EOC=∠BOE,
∴∠EOB=∠EOC=∠ECO=30°,
又∵点A的坐标是(5,0),
∴OA=5,
∴BC=5,
在Rt△OBC中,OB=
BC=
,
∴点B的坐标是(0,
);
(3)当点F在点O,G之间时,如图3,
∵△BOE沿着OE对折,使点B落在OC上的F点处;△ACH沿着CH对折,使点A落在OC上的G点处,
∴OF=OB,CG=CA,
而OB=CA,
∴OF=CG,
∵点F,G将对角线OC三等分,
∴AC=OF=FG=GC,
设AC=m,则OC=3m,
在Rt△OAC中,OA=5,
∵AC2+OA2=OC2,
∴m2+52=(3m)2,解得m=
,
∴OB=AC=

∵四边形OBCA为矩形,
∴OB∥CA,BC∥OA,
∴∠BOC=∠OCA,
又∵△BOE沿着OE对折,使点B落在OC上的F点处;△ACH沿着CH对折,使点A落在OC上的G点处,
∴∠BOC=2∠EOC,∠OCA=2∠OCH,
∴∠EOC=∠OCH,
∴OE∥CH,
又∵BC∥OA,
∴四边形OECH是平行四边形;

(2)点B的坐标是(0,
5
| ||
3 |
∵△BOE沿着OE对折,使点B落在OC上的F点处;△ACH沿着CH对折,使点A落在OC上的G点处,
∴∠EFO=∠EBO=90°,∠CFH=∠CAF=90°,
∵点F,G重合,
∴EH⊥OC,
又∵四边形OECH是平行四边形,
∴平行四边形OECH是菱形,
∴EO=EC,
∴∠EOC=∠ECO,
又∵∠EOC=∠BOE,
∴∠EOB=∠EOC=∠ECO=30°,
又∵点A的坐标是(5,0),

∴OA=5,
∴BC=5,
在Rt△OBC中,OB=
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3 |
5
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∴点B的坐标是(0,
5
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3 |
(3)当点F在点O,G之间时,如图3,
∵△BOE沿着OE对折,使点B落在OC上的F点处;△ACH沿着CH对折,使点A落在OC上的G点处,
∴OF=OB,CG=CA,
而OB=CA,
∴OF=CG,
∵点F,G将对角线OC三等分,
∴AC=OF=FG=GC,
设AC=m,则OC=3m,
在Rt△OAC中,OA=5,
∵AC2+OA2=OC2,
∴m2+52=(3m)2,解得m=
5 |
4 |
2 |

∴OB=AC=
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