如图，点A（2，2）在双曲线y1=kx（x>0）上，点C在双曲线y2=-9x（x<0）上，分别过A、C向x轴作垂线，垂足分别为F、E，以A、C为顶点作正方形ABCD，且使点B在x轴上，点D在y轴的正半轴上．（1）

Question

如图，点A（2，2）在双曲线y₁=(k)/(x)（x>0）上，点C在双曲线y₂=-(9)/(x)（x<0）上，分别过A、C向x轴作垂线，垂足分别为F、E，以A、C为顶点作正方形ABCD，且使点B在x轴上，点D在y轴的正半轴上．
（1）求k的值；
（2）求证：△BCE≌△ABF；
（3）求直线BD的解析式．

Answer 1

（1） 把点A（2，2）代入y₁=(k)/(x)，
得：2=(k)/(2)，
∴k=4；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB，∠ABC=90°，BD=AC，
∴∠EBC+∠ABF=90°，
∵CE⊥x轴，AF⊥x轴，
∴∠CEB=∠BFA=90°，
∴∠BCE+∠EBC=90°，
∴∠BCE=∠ABF，
在△BCE和△ABF中，

∠BCE=∠ABF

∠CEB=∠BFA

BC=AB

，
∴△BCE≌△ABF（AAS）；
（3） 连接AC，作AG⊥CE于G，如图所示：
则∠AGC=90°，AG=EF，GE=AF=2，
由（2）得：△BCE≌△ABF，
∴BE=AF=2，CE=BF，
设OB=x，则OE=x+2，CE=BF=x+2，
∴OE=CE，
∴点C的坐标为：（-x-2，x+2），
代入双曲线y₂=-(9)/(x)（x<0）得：-（x+2）²=-9，
解得：x=1，或x=-5（不合题意，舍去），
∴OB=1，BF=3，CE=OE=3，
∴EF=2+3=5，CG=1=OB，B（-1，0），AG=5，
在Rt△BOD和Rt△CGA中，

BD=AC

OB=CG

，
∴Rt△BOD≌Rt△CGA（HL），
∴OD=AG=5，
∴D（0，5），
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
把B（-1，0），D（0，5）代入得：

-k+b=0

b=5

，
解得：k=5，b=5．
∴直线BD的解析式为：y=5x+5．