（2013•滨湖区二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个

Question

（2013•滨湖区二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连结PQ，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）求线段AC的长度；
（2）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l：
①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长；
②当l经过点B时，求t的值．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝√(AB2+BC2)＝5；

（2）如图1，

过点P作PH⊥AB于点H，AP=t，AQ=3-t，
则∠AHP=∠ABC=90°，
∵∠PAH=∠CAB，
∴△AHP∽△ABC，
∴(AP)/(AC)=(PH)/(BC)，
∵AP=t，AC=5，BC=4，
∴PH=(4)/(5)t，
∴S=(1)/(2)•（3-t）•(4)/(5)t，
即S=-(2)/(5)t²+(6)/(5)t，t的取值范围是：0＜t＜3．

（3）①如图2，

∵线段PQ的垂直平分线为l经过点A，
∴AP=AQ，
∴3-t=t，
∴t=1.5，
∴AP=AQ=1.5，
延长QP交AD于点E，过点Q作QO∥AD交AC于点O，
∴△AQO∽△ABC，
∴(AO)/(AC)＝(AQ)/(AB)＝(QO)/(BC)，
∴AO＝(AQ)/(AB)•AC＝(5)/(2)，OQ＝(AQ)/(AB)•BC＝2，
∴PO=AO-AP=1，
∵OQ∥BC∥AD，
∴△APE∽△OPQ，
∴(AE)/(OQ)＝(AP)/(OP)，
∴AE＝(AP)/(OP)•OQ＝3．

②如图③，
（i）当点Q从B向A运动时l经过点B，
BQ=BP=AP=t，∠QBP=∠QAP，
∵∠QBP+∠PBC=90°，∠QAP+∠PCB=90°
∴∠PBC=∠PCB，
∴CP=BP=AP=t
∴CP=AP=(1)/(2)AC=(1)/(2)×5=2.5，
∴t=2.5；
（ⅱ）如图4，当点Q从A向B运动时l经过点B，

BP=BQ=3-（t-3）=6-t，AP=t，PC=5-t，
过点P作PG⊥CB于点G，
则PG∥AB，
∴△PGC∽△ABC，
∴(PC)/(AC)＝(PG)/(AB)＝(GC)/(BC)，
∴PG=(PC)/(AC)•AB=(3)/(5)（5-t），CG=(PC)/(AC)•BC=(4)/(5)（5-t），
∴BG=4-(4)/(5)(5−t)=(4)/(5)t
由勾股定理得BP²=BG²+PG²，即(6−t)2＝((4)/(5)t)2+[(3)/(5)(5−t)]2，
解得t＝(45)/(14)．