已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点P从点A开始沿AC边向点C匀速移动，点Q从点A开始沿AB边向点B，再沿BC边向点C匀速移动．若P、Q两点同时从点A出发，则可同时到达点C．（1）如果P

Question

已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点P从点A开始沿AC边向点C匀速移动，点Q从点A开始沿AB边向点B，再沿BC边向点C匀速移动．若P、Q两点同时从点A出发，则可同时到达点C．
（1）如果P、Q两点同时从点A出发，以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动，当点Q移动到BC边上（Q不与C重合）时，求作以tan∠QCA、tan∠QPA为根的一元二次方程；
（2）如果P、Q两点同时从点A出发，以原速度按各自的移动路线移动到某一时刻同时停止移动，当S_△PBQ=(12)/(5)时，求PA的长．

Answer 1

在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，
∴BC=10．
∵P、Q两点从点A同时出发，可同时到达点C，
∴(Sp)/(Sq)＝(8)/(6+10)＝(1)/(2)（1分）
（1）设P点移动的路程为x，Q点移动的路程为2x．
∴CP=8-x，BQ=2x-6，CQ=16-2x．（1分）
作QH⊥AC，垂足为H（如右下图）．
∵∠A=90°，∴QH∥AB，
∴(QH)/(AB)＝(CQ)/(CB)＝(CH)/(AC)
∴QH＝(6)/(5)(8−x)，CH＝(8)/(5)(8−x)
∴PH=CH-CP=(3)/(5)（8-x），
∴tan∠QPA=(QH)/(PH)=2．（1分）
∵tan∠QCA=(3)/(4)，
∴tan∠QPA+tan∠QCA=(11)/(4)，
tan∠QPA•tan∠QCA=(3)/(2)，
∴以tan∠QCA、tan∠QPA为根的一元二次方程为
y²-(11)/(4)y+(3)/(2)＝0即4y²-11y+6=0．（1分）

（2）当S_△PBQ=(12)/(5)时，设PA=x，点Q的位置有两种情况：
①当点Q在AB上时（如图），
则AQ=2x，BQ=6-2x．
S_△PBQ=(1)/(2)PA•BQ
=(1)/(2)x(6−2x)
=(12)/(5)，
∴x2−3x+(12)/(5)＝0，
∵△=9-(48)/(5)＜0，
∴此方程无实根，故点Q不能在AB上；（2分）
②当点Q在BC边上时（如图），
则QB=2x-6．
作PG⊥BC，垂足为G，
∴△PCG∽△BCA，
∴(PG)/(BA)＝(PC)/(BC)，
∴PG＝(3)/(5)(8−x)，
∴S_△PBQ=(1)/(2)QB•PG
=(1)/(2)•(2x−6)•(3)/(5)(8−x)
=(12)/(5)．
∴x²-11x+28=0，
解得：x₁=4，x₂=7．
∴S_△PBQ=(12)/(5)时，PA=4或7．（2分）